열역학 3.2. 이상기체 기초 예제

1. 이상기체 법칙 [예제 3.12] 압력이 일정하게 유지되는 상태에서, 27℃, 1 m³의 이상기체를 가열하여 부피를 2 m³로 팽창시켰다. 이때 기체의 최종 온도는 몇 ℃인가?  주어진 값: T₁ = 27℃, V₁ = 1 m³, V₂ = 2 m³ 단위 환산: T₁ = 27℃ + 273 = 300 K 공식: 샤를의 법칙 V₁/T₁ = V₂/T₂ [공식 3.21] 에서 T₂ = T₁ × (V₂/V₁) 계산: 최종 절대온도 계산: T₂ = 300 K × (2 m³/1 m³) = 600 K 섭씨온도로 변환: 600 K - 273 = 327℃ 답: 327℃ [예제 3.13] 압력 200 kPa, 온도 300 K 조건에서 어떤 이상기체가 1.2 m³의 부피를 차지하고 있다. 이 기체의 질량(kg)은 얼마인가? (단, 이 기체의 기체상수는 0.2 kJ/kg·K이다.)  주어진 값: P = 200 kPa, T = 300 K, V = 1.2 m³, R = 0.2 kJ/kg·K 공식: 이상기체 상태 방정식 PV = mRT [공식 3.12] 에서 m = PV/(RT) 계산: m = (200 kPa × 1.2 m³)/(0.2 kJ/kg·K × 300 K) = 240 kJ/60 kJ/kg = 4 kg 답: 4 kg [예제 3.14] 압력 300 kPa, 온도 300 K에서 어떤 이상기체의 밀도(kg/m³)는 얼마인가? (단, 이 기체의 기체상수는 0.25 kJ/kg·K이다.)  주어진 값: P = 300 kPa, T = 300 K, R = 0.25 kJ/kg·K 공식: 이상기체 상태 방정식 P = ρRT [공식 3.14] 에서 ρ = P/(RT) 계산: ρ = 300 kPa/(0.25 kJ/kg·K × 300 K) = 300/75 = 4 kg/m³ 답: 4 kg/m³

2. 내부 에너지와 엔탈피 [예제 3.15] 어떤 이상기체 1 kg을 가열하여 온도가 100℃에서 200℃로 증가하였다. 이 기체의 비내부 에너지 변화량(kJ/kg)은 얼마인가? (단, 이 기체의 정적비열 Cᵥ는 0.7 kJ/kg·K로 일정하다.)  주어진 값: m = 1 kg, T₁ = 100℃, T₂ = 200℃, Cᵥ = 0.7 kJ/kg·K 공식: 내부 에너지 변화 ΔU = mCᵥΔT [공식 3.16]. 비내부 에너지 변화는 Δu = CᵥΔT 이다. 계산: 온도 변화 ΔT = 200℃ - 100℃ = 100 K (온도차는 K와 ℃가 동일) Δu = 0.7 kJ/kg·K × 100 K = 70 kJ/kg 답: 70 kJ/kg [예제 3.16] 질량 2 kg의 이상기체를 일정한 압력 하에서 50℃에서 100℃까지 가열할 때 필요한 열량(kJ)은 얼마인가? (단, 이 기체의 정압비열 Cₚ는 1.0 kJ/kg·K이다.)  주어진 값: m = 2 kg, T₁ = 50℃, T₂ = 100℃, Cₚ = 1.0 kJ/kg·K 공식: 정압 과정에서 가한 열량은 엔탈피 변화량과 같다. Q = ΔH = mCₚΔT [공식 3.17, 3.18] 계산: 온도 변화 ΔT = 100℃ - 50℃ = 50 K Q = 2 kg × 1.0 kJ/kg·K × 50 K = 100 kJ 답: 100 kJ

3. 이상기체의 상태 변화 [예제 3.17] 단열된 실린더 안의 이상기체 3 kg을 압축하여 온도를 15℃만큼 높였다. 이 과정에서 기체에 해 주어야 하는 일(kJ)은 얼마인가? (단, 기체의 정적비열 Cᵥ는 0.6 kJ/kg·K로 일정하다.)  주어진 값: m = 3 kg, ΔT = 15 K, Cᵥ = 0.6 kJ/kg·K, Q = 0 (단열 과정) 공식: 단열 과정에서 한 일 W = -ΔU = -mCᵥΔT [공식 3.23] 계산: 내부 에너지 변화 ΔU = 3 kg × 0.6 kJ/kg·K × 15 K = 27 kJ 기체가 한 일 W = -ΔU = -27 kJ 답: 27 kJ (음수 부호는 기체가 외부로부터 27 kJ의 일을 받았음을 의미한다.) [예제 3.18] 부피가 일정한 용기 안에 300 K, 200 kPa의 이상기체가 들어있다. 용기를 가열하여 기체의 온도를 600 K로 높였을 때 최종 압력(kPa)은 얼마인가?  주어진 값: T₁ = 300 K, P₁ = 200 kPa, T₂ = 600 K 공식: 정적 과정의 P-T 관계 P₁/T₁ = P₂/T₂ [공식 3.20] 에서 P₂ = P₁ × (T₂/T₁) 계산: P₂ = 200 kPa × (600 K/300 K) = 200 × 2 = 400 kPa 답: 400 kPa [예제 3.19] 압력이 일정하게 유지되는 실린더에 이상기체 2 kg이 들어있다. 열을 가하여 온도를 100℃만큼 높였을 때 내부 에너지 변화, 가해진 열량, 기체가 한 일을 각각 구하라. (단, Cᵥ = 0.7 kJ/kg·K, Cₚ = 1.0 kJ/kg·K이다.)  주어진 값: m = 2 kg, ΔT = 100 K, Cᵥ = 0.7 kJ/kg·K, Cₚ = 1.0 kJ/kg·K 공식: 내부 에너지 변화: ΔU = mCᵥΔT [공식 3.16] 가해진 열량 (정압): Q = ΔH = mCₚΔT [공식 3.18] 기체가 한 일: W = Q - ΔU [공식 3.5] 계산: 내부 에너지 변화: ΔU = 2 kg × 0.7 kJ/kg·K × 100 K = 140 kJ 가해진 열량: Q = 2 kg × 1.0 kJ/kg·K × 100 K = 200 kJ 기체가 한 일: W = 200 kJ - 140 kJ = 60 kJ 답: 내부 에너지 변화: 140 kJ, 가해진 열량: 200 kJ, 기체가 한 일: 60 kJ [예제 3.20] 200 kPa의 압력과 0.5 m³의 부피를 가진 이상기체를 온도를 일정하게 유지하며 팽창시켜 부피가 1.0 m³이 되게 하였다. 이 과정에서 기체가 한 일(kJ)은 얼마인가? (단, ln(2) ≈ 0.7로 계산한다.)  주어진 값: P₁ = 200 kPa, V₁ = 0.5 m³, V₂ = 1.0 m³, ln(2) ≈ 0.7 공식: 등온 과정에서 한 일 W = P₁V₁ln(V₂/V₁) [공식 3.22 변형] 계산: W = (200 kPa × 0.5 m³) × ln(1.0 m³/0.5 m³) W = 100 kJ × ln(2) W = 100 kJ × 0.7 = 70 kJ 답: 70 kJ [예제 3.21] 부피가 일정한 단열 실린더 안에 이상기체 2 kg이 들어있다. 실린더 내부의 장치를 작동하여 기체에 20 kJ의 일을 가했을 때, 기체의 온도 변화(K)는 얼마인가? (단, 기체의 정적비열 Cᵥ는 0.5 kJ/kg·K이다.)  주어진 값: m = 2 kg, W = -20 kJ (일을 받음), Cᵥ = 0.5 kJ/kg·K, Q = 0 (단열), V=일정 공식: 열역학 제1법칙: ΔU = Q - W [공식 3.5] 내부 에너지 변화: ΔU = mCᵥΔT [공식 3.16] 계산: 내부 에너지 변화 계산: ΔU = 0 - (-20 kJ) = 20 kJ 온도 변화 계산: 20 kJ = 2 kg × 0.5 kJ/kg·K × ΔT 20 kJ = 1 kJ/K × ΔT ΔT = 20 K 답: 20 K (온도가 20 K 또는 20℃만큼 상승한다.)