등온·단열 과정과 정리 | 기초 열역학 2.2.3-3
기초 열역학Chapter 02 열역학 법칙과 이상기체 › Section 02 이상기체
2.2.3-3 등온·단열 과정과 정리
온도를 묶으면 내부 에너지가 그대로여서 받은 열이 모두 일로 나가고, 열을 막으면 일한 만큼 내부 에너지가 깎임. 남은 두 과정을 보고 네 과정을 「무엇이 0 이 되는가」로 견줌.
01등온 과정 — 온도를 붙잡아 두고 천천히 주고받음교재 94p
- 등온 과정(Isothermal Process) — 온도가 일정하게 유지되도록 천천히 열을 주고받으며 기체를 팽창·압축시키는 과정.
- 「천천히」가 조건 — 빠르게 팽창시키면 온도가 떨어지므로, 온도를 붙잡아 두려면 열을 계속 넣어 주어야 함.
- ΔU = 0 — 2.2.2 에서 본 대로 이상기체의 내부 에너지는 온도만의 함수이므로, 온도가 변하지 않으면 내부 에너지도 변하지 않음.
- 제1법칙이 Q = W 로 줄어듦 — 공급한 열이 전부 외부로 일하는 데 쓰이고, 계 안에 쌓이는 몫이 없음.
02등온의 관계식 — 압력과 부피의 곱이 일정교재 94p
- 보일 법칙 — P₁V₁ = P₂V₂ = C. 상태 방정식 PV = mRT 에서 T 가 상수이므로 그 곱이 늘 같은 값.
- 일과 열을 한 식이 줌 — W = Q = n Rᵤ T ln(V₂ / V₁). 질량 기준으로 바꿔 쓴 꼴도 같은 값. (식 2.26)
- 부호는 로그가 정함 — 팽창이면 V₂ > V₁ 이라 로그가 양수이고 계가 일을 함. 압축이면 거꾸로 음수이고 계가 일을 받음.
03단열 과정 — 열이 오갈 틈이 없음교재 95p
- 단열 과정(Adiabatic Process) — 단열된 용기 안에서, 또는 너무 빠르게 일어나 열을 주고받을 시간이 없는 상태에서의 팽창·압축.
- 묶는 것이 다름 — 앞의 세 과정은 상태량을 하나씩 묶지만, 단열만은 묶는 것이 열의 출입 자체.
- Q = 0 이므로 ΔU = −W — 열을 받을 수 없으니 일할 에너지를 자기 안에서 꺼내 써야 하는 것이 온도가 변하는 까닭.
1단열 팽창
- 외부에 일을 하므로 ΔU 가 음수.
- 한 일만큼 내부 에너지가 줄어 온도가 내려감.
2단열 압축
- 일을 받으므로 ΔU 가 양수.
- 받은 일이 모두 안에 쌓여 온도가 올라감.
04단열의 관계식 — 지수에 비열비 k 가 붙음교재 96p
- 압력과 부피 — P₁V₁ᵏ = P₂V₂ᵏ. 등온의 보일 법칙에 지수 k 가 하나 붙은 꼴.
- 온도와 부피 — T₁V₁ᵏ⁻¹ = T₂V₂ᵏ⁻¹.
- 일과 열 — W = −ΔU = −m cᵥ ΔT, 그리고 Q = 0. (식 2.27)
여기서 자주 어긋남
- cᵥ 를 쓰는 자리 — 단열에서는 압력이 변하더라도 정적 비열 cᵥ 를 씀. 내부 에너지 변화를 구하는 자리이기 때문.
- 성립 범위에 단서가 하나 — 앞 두 줄은 이상기체의 가역 단열, 곧 등엔트로피 과정에서만 성립. 뒤 두 줄은 가역이 아니어도 단열이기만 하면 성립.
- 일을 「받은」 경우의 부호 — 받았으면 W 가 음수. 0 에서 음수를 빼야 ΔU 가 양수로 나옴.
05네 과정 정리 — 무엇이 0 이 되는가교재 98p
| 과정 | 묶은 것 | 0 이 되는 것 | 남는 관계 |
|---|---|---|---|
| 정적 | V 일정 | W = 0 | Q = ΔU |
| 정압 | P 일정 | ΔP = 0 | Q = ΔH |
| 등온 | T 일정 | ΔU = 0 | Q = W |
| 단열 | 열 출입 | Q = 0 | ΔU = −W |
- 묶은 것이 식의 모양을 정함 — 묶은 것은 식에서 빠지고 남은 둘이 서로 묶임. 네 식이 저마다 달라 보여도 모두 제1법칙 하나에서 갈라져 나온 것.
- 문제가 조건을 알려 주는 말 — 「단단한·견고한 용기」는 정적, 「압력이 일정·위가 뚫린 실린더」는 정압, 「천천히·온도가 변하지 않도록」은 등온, 「단열된·열 출입이 없는」은 단열.
- P–V–T 관계와 일 W 의 식까지 함께 실린 전체 표는 교재 98p [표 2.1].
06예제 — 조건 한 줄을 먼저 적는 것교재 94p~97p
- 첫 줄이 갈림길 — 등온이면 ΔU = 0, 단열이면 Q = 0 을 먼저 적고 제1법칙 ΔU = Q − W 에 넣는 것으로 끝.
| 예제 | 묻는 것 | 답 |
|---|---|---|
| 2.60 | 등온 팽창 뒤 나중 압력 | 100kPa |
| 2.61 | 등온 압축의 내부 에너지 변화량 | 0kJ |
| 2.62 | 등온에서 받은 열량 | 120kJ |
| 2.63 | 단열 팽창의 내부 에너지 변화량 | −80kJ |
| 2.64 | 단열 압축의 내부 에너지 변화량 | 150kJ |
| 2.65 | 단열에서 기체가 한 일 | 100kJ |
풀이 과정은 교재 94p~97p 에 있음. 여기까지가 제1법칙으로 푸는 이야기이며, 변화의 방향을 다루는 제2법칙은 다음 편.
이 절의 핵심 정리
- 등온 과정은 ΔU = 0 이므로 받은 열이 그대로 일이 되어 Q = W 다.
- 등온에서는 보일 법칙 P₁V₁ = P₂V₂ 가 성립하고 일은 로그 식으로 구한다.
- 단열 과정은 Q = 0 이므로 ΔU = −W 이며, 팽창하면 온도가 내려간다.
- 가역 단열에서는 PVᵏ 이 일정하고, 일은 압력이 변해도 cᵥ 로 계산한다.
- 네 과정은 각각 W, ΔP, ΔU, Q 중 무엇이 0 인지로 갈린다.
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