비열과 에너지의 관계식 | 기초 열역학 2.2.2-2
기초 열역학Chapter 02 열역학 법칙과 이상기체 › Section 02 이상기체
2.2.2-2 비열과 에너지의 관계식
정적 비열과 정압 비열은 따로 노는 값이 아니라 기체 상수 R 로 묶여 있음. 두 비열의 차가 R, 두 비열의 비가 비열비 k. 네 값 가운데 둘만 알면 나머지가 따라 나옴.
01앞 편에서 이어 받기 — 부등호가 등식으로 바뀌는 자리교재 79p
- 앞 편까지 — 정적 비열 cᵥ 와 정압 비열 cₚ 를 각각 정의하고 cₚ > cᵥ 까지 확인함.
- 이번 편 — 그 차이가 얼마인지를 숫자로 밝히는 자리. 부등호가 등식으로 바뀜.
- 그대로 이어 쓰는 식 — ΔU = m cᵥ ΔT 와 ΔH = m cₚ ΔT. 앞 편에서 이미 세워 둔 두 식.
- 새로 더하는 것 — 두 비열을 기체 상수 R 과 비열비 k 에 묶는 관계식(식 2.21).
02cₚ − cᵥ = R — 두 비열의 차이가 곧 그 기체의 기체 상수교재 79p
- 비열 관계식(식 2.21) — cₚ − cᵥ = R. 이상기체에서 늘 성립하는 관계.
- 왜 하필 R 인가 — 온도를 1K 올릴 때 내부 에너지로 쌓이는 몫은 두 과정이 같음. 정압에서 더 든 몫은 고스란히 팽창 일로 나가며, 그 몫이 수치로 R 과 같아짐.
- 기체마다 다른 값 — R 이 기체 고유의 값이므로 두 비열의 차이도 기체마다 달라짐.
- 단위 — 두 비열이 kJ/(kg·K) 이므로 그 차이인 R 도 같은 단위. 2.2.1 에서 Pv/T 로 얻은 단위와 같은 자리에서 만남.
03비열비 k — 단위 없는 수, 언제나 1보다 큼교재 79p
- 비열비(specific heat ratio, k) — 정압 비열을 정적 비열로 나눈 값. k = cₚ / cᵥ.
- 언제나 k > 1 — cₚ 가 cᵥ 보다 크므로 나눈 값이 1을 넘을 수밖에 없음.
- 무차원 — 같은 단위끼리 나누어 단위가 지워짐. 앞 편의 몰 기준 비열로 나누어도 몰질량이 약분되어 값이 그대로임.
- 쓰이는 자리 — 단열 과정의 계산. 2.2.3 에서 다시 만남.
04R 과 k 로 두 비열 구하기 — 분모는 늘 k − 1교재 79p
1정적 비열 cᵥ
- cᵥ = R / (k − 1).
- k 에서 1을 뺀 값으로 R 을 나눔.
2정압 비열 cₚ
- cₚ = kR / (k − 1).
- 분모는 같고 분자에만 k 가 붙음.
두 식 모두 식 2.21 에 함께 실려 있음. cₚ = k cᵥ 를 cₚ − cᵥ = R 에 넣고 cᵥ 로 묶으면 나오는 꼴이므로 외울 몫이 줄어듦.
05네 값의 짜임 — 둘만 알면 나머지가 따라옴교재 79p
- 묶여 있는 네 값 — cₚ · cᵥ · R · k. 이 중 둘만 주어지면 나머지 둘이 계산으로 나옴.
- 푸는 순서 — 문제가 무엇을 주었는지부터 보고 들어갈 식을 고름.
| 주어진 둘 | 바로 들어갈 식 |
|---|---|
| cₚ, cᵥ | R = cₚ − cᵥ · k = cₚ / cᵥ |
| R, cᵥ | cₚ = cᵥ + R · 이어서 k = cₚ / cᵥ |
| R, k | cᵥ = R / (k − 1) · cₚ = kR / (k − 1) |
자주 어긋나는 자리
- 어느 비열을 쓸지부터 — 단단한 용기처럼 부피가 고정이면 cᵥ, 압력이 거의 일정한 장치면 cₚ. 잘못 고르면 답이 달라짐.
- k = 2 는 셈하기 좋게 고른 값 — 실제 기체의 비열비는 대개 1.3~1.6 이고 공기는 약 1.4.
- 검산 버릇 — 구한 두 비열을 cₚ − cᵥ = R 에 다시 넣어 주어진 R 과 맞는지 확인.
06예제 2.42~2.49 — 여덟 문제, 답만 확인교재 83p~86p
- 갈래 ① 과정을 보고 cₚ 와 cᵥ 중 하나를 골라 열량이나 비열을 구하는 문제 — 2.42 · 2.43.
- 갈래 ② cₚ − cᵥ = R 과 k = cₚ / cᵥ 를 그대로 쓰는 문제 — 2.44 · 2.45 · 2.46.
- 갈래 ③ R 과 k 를 오가는 문제 — 2.47 · 2.48 · 2.49.
| 예제 | 묻는 것 | 답 |
|---|---|---|
| 2.42 | 정압 가열의 열량 | 300kJ |
| 2.43 | 정적 비열 | 0.5kJ/(kg·K) |
| 2.44 | 기체 상수 | 0.4kJ/(kg·K) |
| 2.45 | 정압 비열 | 0.9kJ/(kg·K) |
| 2.46 | 비열비 k | 2 |
| 2.47 | 두 비열 | cᵥ 0.4 · cₚ 0.8kJ/(kg·K) |
| 2.48 | 정적 비열 | 0.6kJ/(kg·K) |
| 2.49 | 비열비 k | 1.43 |
풀이 과정은 교재 83p~86p 에 있음. 답을 보기 전에 네 값 중 무엇이 주어졌는지부터 짚어 보기 바람.
이 절의 핵심 정리
- 이상기체에서는 cₚ − cᵥ = R 이 언제나 성립한다.
- 비열비 k 는 cₚ / cᵥ 이고 단위가 없는 순수한 숫자다.
- 비열비는 cₚ 가 cᵥ 보다 크므로 늘 1 보다 크다.
- R 과 k 를 알면 cᵥ = R/(k−1), cₚ = kR/(k−1) 로 구한다.
- cₚ, cᵥ, R, k 네 값 중 둘만 알면 나머지가 모두 나온다.
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