수학적 전개와 해석 | 기초 열역학 2.1.3
기초 열역학Chapter 02 열역학 법칙과 이상기체 › Section 01 열역학 제1법칙
2.1.3 수학적 전개와 해석
물질이 드나들지 않는 밀폐계에서 제1법칙을 식으로 세움. 계를 기준으로 삼는 부호 약속과, 피스톤이 움직이며 하는 경계일 W = ∫P dV 를 P–V 선도와 함께 정리함.
01밀폐계 — 드나드는 통로가 열과 일뿐교재 64p
2.1.1 에서 세운 제1법칙을, 이번 편에서 밀폐계에 맞춰 풀어 쓰는 자리.
- 밀폐계(Closed system) — 물질의 출입이 없는 계.
- 통로가 둘뿐 — 물질이 드나들지 않으므로 에너지 변화가 열 Q 와 일 W 를 통해서만 일어남.
- 식 (2.7) — ΔU = U₂ − U₁ = Q − W.
- 읽는 법 — 계가 흡수한 열에서 계가 외부에 한 일을 뺀 값이 곧 내부 에너지 변화량.
02식 (2.8) — 공급된 열이 갈라지는 두 갈래교재 64p
- 열에 대해 정리한 꼴 — Q = ΔU + W. 식 (2.7) 의 등호를 넘겨 쓴 같은 식.
- 골라 쓰는 기준 — 구하려는 것이 내부 에너지 변화량이면 (2.7), 받은 열량이면 (2.8).
1쌓이는 몫 ΔU
- 계 안에 남아 내부 에너지를 올림.
- 계에 남는 쪽.
2나가는 몫 W
- 피스톤을 밀어내며 밖으로 빠져나감.
- 계에 남지 않는 쪽.
03부호 약속 — 기준은 언제나 계교재 64p
| 부호 | 뜻 | 과정 |
|---|---|---|
| Q > 0 | 계가 열을 흡수 | 가열 |
| Q < 0 | 계가 열을 방출 | 냉각 |
| W > 0 | 계가 외부에 일을 함 | 팽창 |
| W < 0 | 계가 외부로부터 일을 받음 | 압축 |
이 편에서 가장 많이 어긋나는 자리 — 일의 부호
- 열과 일이 서로 반대 — W 를 「계가 한 일」 로 정의했으므로 계가 일을 했을 때가 양수. 에너지가 드나드는 방향으로 보면 열과 반대인 셈.
- 순서를 지킬 것 — 부호를 먼저 정하고 그다음에 식에 넣음. 방출한 열과 받은 일을 음수로 넣어야 값이 맞음.
- 식은 그대로 두기 — ΔU = Q − W 의 부호를 고쳐 잡지 말고 값에 음수를 그대로 대입할 것.
04d 와 δ — 기호가 양의 성격을 가름교재 64p
- 미분 형태 — δQ = dU + δW (2.9).
1완전 미분 d
- 내부 에너지 U 에 붙음.
- 상태량이라 지금 상태만으로 값이 정해짐.
2불완전 미분 δ
- 열 Q 와 일 W 에 붙음.
- 경로 함수라 어느 길로 갔느냐에 따라 값이 달라짐.
한 식에 모여도 성격은 다름
- 같은 두 상태를 잇더라도 경로가 바뀌면 열과 일의 값이 달라짐. 그 차이를 기호로 갈라 적은 것이 식 (2.9).
05경계일 — 곡선 아래 넓이가 곧 일교재 67p~68p
- 경계일(Boundary Work) — 기체가 팽창하거나 압축될 때 계의 경계를 따라 주고받는 일.
- 결론 식 — 준평형 과정에서 상태 1 에서 2 까지의 총 경계일이 ₁W₂ = ∫P dV (2.11). 체적이 변할 때마다 압력도 달라지므로 한 번에 곱하지 못하고 조금씩 더해 나감.
- P–V 선도 읽는 법 — 과정 곡선 아래쪽 면적이 그대로 기체가 한 경계일. 팽창이면 양수, 압축이면 음수.
- 압력이 일정하면 — 압력이 적분 밖으로 나와 W = P(V₂ − V₁) 곱셈 하나로 줄어듦. 경계일 외의 다른 일이 없을 때의 제1법칙이 δQ = dU + P dV (2.12).
06예제 — 구하려는 것에 맞춰 식을 옮기기교재 65p~70p
- 갈래 하나 — 제1법칙만 쓰는 형. 세 값 중 둘을 주고 나머지 하나를 물음.
- 갈래 둘 — 정압 경계일 W = P(V₂ − V₁) 을 쓰는 형.
| 예제 | 묻는 것 | 답 |
|---|---|---|
| 2.14 | 내부 에너지 변화량 | 300kJ |
| 2.15 | 받은 열량 | 150kJ |
| 2.16 | 외부에 한 일 | 180kJ |
| 2.17 | 내부 에너지 변화량 | −50kJ |
| 2.18 | 계가 한 일 | 40kJ |
| 2.19 | 정압 팽창에서 한 일 | 400kJ |
| 2.20 | 체적 변화에 따른 일 | −300kJ |
| 2.21 | 나중 체적 | 3m³ |
| 2.22 | 받은 열량 | 400kJ |
| 2.23 | 내부 에너지 변화량 | 40kJ |
예제 열 개의 풀이 과정은 교재 65p~70p 에 있음. 2.17 · 2.20 · 2.23 이 부호가 섞이는 형.
이 절의 핵심 정리
- 밀폐계의 제1법칙은 ΔU = Q − W 이고, 열로 정리하면 Q = ΔU + W 이다.
- 부호는 계가 기준이라, 들어온 열과 계가 한 일이 양수이다.
- 열을 방출하거나 일을 받으면 식이 아니라 값에 음수를 대입한다.
- U는 상태량이라 d를, Q와 W는 경로 함수라 δ를 쓴다.
- 경계일은 W = ∫P dV 이고, P–V 선도에서 곡선 아래 넓이가 곧 일이다.
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