2019 중등임용 기술 디지털논리회로 전공B 2번 불 대수와 논리회로 간소화 기출문제 풀이
2019학년도 중등교사 임용시험 · 기술
다음 그림 (가)에 제시된 논리 회로를 최대한 간략하게 하여 재구성하려 한다. <작성 방법>에 따라 답을 쓰시오.
◦ (나)에 제시된 불 대수(Boolean Algebra) 기본 연산을 참조할 것.
◦ 논리 회로의 출력 함수 F를 불 대수로 작성할 것.
◦ 작성한 출력 함수 F를 논리적으로 등가인 함수로 최대한 간략하게 표현하고, 풀이 과정과 함께 쓸 것.
◦ 간략하게 표현한 출력 함수 F를 논리 회로로 작성할 것.
논리 회로의 출력 함수 F
모범답안과 해설 보기
F = ( A + A · B ) + ( C + D ) · D
① 논리 회로를 식으로 옮길 때는 입력 쪽에서 출력 쪽으로 게이트를 하나씩 지나며 그 출력을 적어 나갑니다. 위쪽 갈래에서는 A와 B가 AND로 묶여 A · B가 되고, 이것과 A 자신이 OR로 묶여 A + A · B가 됩니다.
② 아래쪽 갈래에서는 C와 D가 OR로 묶여 C + D가 되고, 이것과 D 자신이 AND로 묶여 ( C + D ) · D가 됩니다. 마지막 OR가 두 갈래를 합치므로 F = ( A + A · B ) + ( C + D ) · D 입니다.
| 위 치 | 게이트 출력 | 뜻 |
|---|---|---|
| 위쪽 AND | A · B | A와 B가 모두 1 |
| 위쪽 OR | A + A · B | A 자신과 A · B의 합 |
| 아래쪽 OR | C + D | C 또는 D |
| 아래쪽 AND | ( C + D ) · D | 분기된 D와의 곱 |
| 마지막 OR | F = ( A + A · B ) + ( C + D ) · D | 두 갈래의 합 |
③ 이 문제에서 가장 놓치기 쉬운 곳은 분기점입니다. A는 점으로 갈라져 위쪽 OR의 한 입력과 AND의 한 입력으로 동시에 들어가고, D도 갈라져 아래쪽 OR와 AND로 동시에 들어갑니다. 이 분기를 보지 못하면 식 자체가 달라지므로 회로도의 점(●)을 먼저 찾아 두는 편이 안전합니다.
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출력 함수 F의 간략화 및 풀이 과정
모범답안과 해설 보기
F = A + D
① 두 갈래를 따로 줄인 뒤 마지막에 합치는 것이 가장 깔끔합니다. 위쪽 A + A · B는 A로 묶으면 A · ( 1 + B )가 되는데, 불 대수에서 1 + B는 언제나 1이므로 A · 1 = A 입니다. B가 무엇이든 결과가 A로 정해지므로 B는 이 회로에서 아무 역할도 하지 않습니다.
② 아래쪽 ( C + D ) · D는 펼치면 C · D + D · D 입니다. 불 대수에서 D · D = D 이므로 C · D + D가 되고, D로 묶으면 D · ( C + 1 ) = D · 1 = D 입니다. 여기서도 C는 결과에 영향을 주지 못합니다.
| 단 계 | 식 | 사용한 법칙 |
|---|---|---|
| ① | A + A · B = A · ( 1 + B ) | 분배법칙 |
| ② | = A · 1 = A | 1 + B = 1, A · 1 = A |
| ③ | ( C + D ) · D = C · D + D · D | 분배법칙 |
| ④ | = C · D + D = D · ( C + 1 ) = D | D · D = D, C + 1 = 1 |
| ⑤ | F = A + D | 두 결과를 합함 |
③ 두 결과를 마지막 OR로 합치면 F = A + D 입니다. 이 두 변형은 각각 A + A · B = A, ( C + D ) · D = D 라는 흡수법칙의 두 형태로, 곱의 형태와 합의 형태가 서로 쌍대를 이룹니다.
④ 검산은 네 변수를 모두 넣어 보는 것이 확실합니다. A, B, C, D의 16가지 조합을 원래 식과 A + D에 각각 넣으면 값이 모두 일치합니다. B와 C를 어떻게 바꾸어도 F가 변하지 않는다는 점이 간소화가 옳게 되었다는 표시입니다.
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간략화한 출력 함수 F의 논리 회로
모범답안과 해설 보기
2입력 OR 게이트 하나 F = A + D
① F = A + D 는 두 입력의 논리합이므로 2입력 OR 게이트 하나로 그대로 구현됩니다. 입력선은 A와 D 둘만 그리고, B와 C는 회로에 나타나지 않습니다.
② 간소화의 효과가 분명합니다. 원래 회로는 AND 두 개와 OR 세 개, 모두 다섯 개의 게이트를 썼지만 간소화 뒤에는 OR 하나만 남습니다. 게이트 수가 줄면 부품과 배선이 줄고 신호가 지나는 단수가 짧아져 전파 지연도 함께 줄어듭니다.
| 구 분 | 간소화 전 | 간소화 후 |
|---|---|---|
| AND 게이트 | 2개 | 0개 |
| OR 게이트 | 3개 | 1개 |
| 게이트 합계 | 5개 | 1개 |
B와 C처럼 결과에 영향을 주지 않는 입력을 무관 변수라고 합니다. 간소화한 회로에서는 그런 입력선을 그리지 않습니다.
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